Cómo circunvalar Madrid

Imaginemos que el lector viaja de Valencia a Burgos. Lo hace a través de Madrid. Aunque sin duda alguna lo desearía, no tiene tiempo para entrar en la ciudad a tomarse un café con leche en la Plaza Mayor. Quiere rodearla sin detenerse. ¿Cómo debe rodear Madrid? ¿Debe tomar la M-50, la M-45, la M-40 o la M-30? ¿Cual es la mejor manera de atravesar Madrid para hacerlo de la manera más rápida? ¿Es mejor entrar lo más adentro posible o tomar la primera circunvalación que encuentre?

Vamos a dar en este post una respuesta matemática, por tanto perfecta e infalible, a esta eterna pregunta.

Modelemos la red básica de carreteras de Madrid como seis carreteras radiales, equiespaciadas angularmente, dirigidas a Norte, Noreste, Sudeste, Sur, Suroeste y Noroeste. Estas carreteras se numeran del 1 al 6 en el sentido de las agujas del reloj comenzando (número uno) por la carretera que va exactamente hacia el Norte, llamada también carretera de Irún. Todas las carreteras radiales parten de un punto bien conocido llamado kilómetro cero, situado en la Puerta del Sol y en el que deben fotografiarse todos los visitantes de provincias.

Existen cuatro carreteras llamadas M30, M40, M45 y M50 que forman círculos concéntricos alrededor de este mismo punto. Debido al Monte del Pardo y a Tierno Galván algunas de estas carreteras no se cierran completamente. A efectos de este ejercicio podemos ignorar estos lamentables vanos. Vamos a obviar también la posibilidad de atravesar Madrid por sus cinturones internos, las rondas y los bulevares, o por su puro centro, pues la presencia de semáforos, viandantes y manifestaciones altera la pureza de los cálculos.

Imaginemos que queremos ir de un punto rojo a otro de la gráfica adjunta. Ambos puntos están situados a una distancia D de la Puerta del Sol.

Si decidimos tomar la circunvalación más interna posible la distancia a recorrer será:

L1 = R1*alfa + 2*(D-R1)

siendo R1 el radio de esta circunvalación y alfa el ángulo en radianes entre las dos carreteras radiales que queremos conectar. Por el contrario si tomamos una circunvalación más externa, de radio R2, la distancia recorrida será:

L2= R2*alfa + 2*(D-R2)

Queremos averiguar que distancia es mayor, L1 o L2. Comencemos restándolas:

L1-L2= R1*alfa + 2*D - 2*R1 -R2*alfa - 2*D + 2*R2 = alfa*(R1-R2) - 2*(R1-R2)

Es decir:
si alfa > 2, L1>L2
si alfa < 2, L2>L1

Lo cual quiere decir que:
- si el ángulo entre las dos carreteras es mayor de 114 grados es más corto tomar la circunvalación interior
- si el ángulo entre las dos carreteras es menor de 114 grados es más corto tomar la circunvalación exterior

Dado que hay seis carreteras radiales equiespaciadas podemos asumir que el ángulo entre dos carreteras adyacentes es de 60 grados (360/6). Si hay una carretera en medio el ángulo será de 120 grados. Si hay dos carreteras será de 180 grados.

Por tanto: si vamos de una carretera radial a otra adyacente, debemos tomar la circunvalación más externa. En todos los demás casos debemos tomar la circunvalación más interna posible.